Die Exponentialfunktion

Exponentialfunktionen sind eine Funktionsklasse mit zahlreichen Anwendungen vor allem bei der Beschreibung natürlicher Wachstumsvorgänge.
Allgemein hat eine Exponentialfunktion die Form:

Dabei ist die eulersche Zahl e; diese wird durch den Grenzwert definiert und ist so gewählt, dass die Ableitung der e-Funktion wieder die e-Funktion ergibt (s.u.). Exponentialfunktionen mit einer anderen Basis lassen sich folgendermaßen auf die Basis e bringen: ; ln(x) ist dabei der natürliche Logarithmus, die Umkehrfunktion der e-Funktion.

Eigenschaften der Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion hat folgende wichtigen Eigenschaften:

• Der Wertebereich ist:
• Das Verhalten im Unendlichen ist: bzw.:
• Die Exponentialfunktion steigt für große x ”stärker” an, als jede Potenzfunktion.
• Es gelten die Potenzgesetze:
  • 
  • 
  • 
• Die Ableitung der Exponentialfunktion ergibt wieder die e-Funktion:
  
• Daraus ergibt sich die Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion:

Graph der e-Funktion