Umkehrfunktionen

Zu einer Funktion f(x) mit der Definitionsmenge D und der Wertemenge W heißt die Funktion Umkehrfunktion zu f(x), wenn gilt: für alle x

Umkehrbarkeit

Eine Funktion f ist genau dann umkehrbar, wenn sie injektiv ist, das heißt, dass verschiedenen x-Werten auch stets verschiedene y-Werte zugeordnet werden.

Berechnung der Umkehrfunktion

Zu einer gegebenen Funktion f(x) kann die Umkehrfunktion berechnet werden, indem die Gleichung f(y)=x nach der Variablen y aufgelöst wird. Die erhaltene Lösung ist dann die Umkehrfunktion von f(x). Erhält man mehrere Lösungen, so ist die Funktion f nicht umkehrbar; eventuell kann dieses Problem durch eine Einschränkung der Definitionsmenge von f und damit der Wertemenge von gelöst werden.

Graph der Umkehrfunktion

Der Graph der Umkehrfunktion ist achsensymmetrisch zum Graphen der ursprünglichen Funktion; die Symmetrieachse ist die Winkelhalbierende zwischen x- und y-Achse, die durch den ersten und vierten Quadranten verläuft:

Ableitung der Umkehrfunktion

Die Ableitung der Umkehrfunktion kann aus der Ableitung der Funktion f(x) berechnet werden. Es gilt nämlich auf Grund der Symmetrie der Graphen zur Winkelhalbierenden: