Quadratische Funktionen und deren Graphen (Parabeln)

Eine Funktion der Form f(x)=ax²+bx+c heißt quadratische Funktion. Der graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Ist f(x)=x², so ist der Graph die Normalparabel.

normalparabel.png

Eigenschaften der Parabel

parabeleigenschaften.pngEine Parabel kann entweder nach oben oder nach unten geöffnet sein. Dies wird durch das Vorzeichen von a festgelegt: Ist a positiv, so ist die Parabel nach oben geöffnet. Ist a negativ, so ist die Parabel nach unten geöffnet.
Jede Parabel hat entweder einen niedrigsten Punkt (wenn sie nach oben geöffnet ist) oder einen höchsten Punkt (wenn sie nach unten geöffnet ist). Dieser Punkt heißt Scheitelpunkt.
Die Parabel ist achsensymmetrisch zu einer Parallelen zur y-Achse, die durch den Scheitelpunkt verläuft.

Scheitelform einer Quadratischen Funktion

Die Form f(x)=a(x-d)²+e heißt Scheitelform, da aus dieser Form die Koordinaten des Scheitelpunktes direkt abgelesen werden kann. Der x-Wert ist d, der y-Wert e: scheitelkoordinaten.gif Besonders beim x-Wert muss beim Ablesen des x-Wertes muss genau auf die Vorzeichen geachtet werden.
Die Normalform f(x)=ax²+bx+c kann durch eine quadratische Ergänzung in die Scheitelform umgewandelt werden:

  1. Ausklammern von a: quadratische_erganzung1.gif
  2. Quadratische Ergänzung: quadratische_erganzung2.gif
  3. Anwenden der binomischne Formeln und Ausmultiplizieren: quadratische_erganzung3.gif

Damit liegt die Funktion in der Scheitelform vor.

Bedeutung der Parameter a, d und e

Die quadratische Funktion f(x)=a(x-d)²+e ist durch die drei Parameter a, d und e festgelegt. Diese haben unterschiedliche Bedeutung für die Parabel:
a ist der sogenannte Formfaktor, der die Form und Öffnung der Parabel beeinflusst; Ist a=1 bzw. a=-1, so hat der Graph die Form einer nach oben (bzw. unten) geöffneten Normalparabel.
Ist der Betrag von a größer als 1, so ist die Parabel in y-Richtung gestreckt, d.h. der Graph dieser Funktion ist schmaler als der der Normalparabel.
Ist der Betrag von a kleiner als 1, so ist die Parabel in y-Richtung gestaucht, also breiter als die Normalparabel.

formfaktor.pngAbbildung: Auswirkung des Formfaktors a auf den Graphen einer quadratischen Funktion.

Ist a=0, so ist f(x)=e, es liegt also keine echt quadratische Funktion und damit auch keine echte Parabel mehr vor.
Die Parameter d und e entsprechen den Koordinaten des Scheitels, sie beschreiben also die Verschiebung der Parabel. d beschreibt dabei die Verschiebung in x-Richtung, e die Verschiebung in y-Richtung.

Nullstellen quadratischer Funktionen

Diejenigen Punkte, in denen der Graph die x-Achse schneidet, heißen Nullstellen, da an diesen der y-Wert 0 ist. Eine Parabel kann zwei, eine oder keine Nullstelle haben. Diese werden berechnet, in dem die quadratische Gleichung a(x-d)²+e=0 gelöst wird.
Die Lösungen dieser Gleichung sind die x-Werte der Nullstellen.

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16 Kommentare zu Quadratische Funktionen und deren Graphen (Parabeln)

  1. nobody sagt:

    hat geholfen…jetzt nur noch die abschlussprüfung überstehen :l

  2. Kyle sagt:

    Vielen Dank für diese Seite! Sie hat mir sehr weitergeholfen! 🙂

  3. Knut sagt:

    „Jede Parabel hat entweder einen höchsten Punkt (wenn sie nach oben geöffnet ist) oder einen niedrigsten Punkt (wenn sie nach unten geöffnet ist). Dieser Punkt heißt Scheitelpunkt.“
    Verhält es sich nicht genau anders herum?

  4. Lohse sagt:

    @knut: du hast natürlich recht, habe den artikel entsprechend korrigiert

  5. xxAntichristxx sagt:

    wie kann man aus der normal Forml den Scheitelpunkt errechenen ?
    Und wie berechned man eine Wertetabelle?
    Und was ist mit den Gestreckten und gestauchten Funktionen?

  6. Daidon sagt:

    Vielen Dank! Tadellos!
    Alles was man zur Quadratischen Funktion wissen muss ist drin!
    Dickes dickes Lob!
    Einmal durchlesen und man versteht alles! Die Schule braucht dafür 3 Wochen!!

    Liebe Grüße
    Daidon

  7. Gamze sagt:

    Danke hat etwas geholfen es wäre aber noch besser wenn sie ein paar aufgaben mit lösungen mit reinbringen

  8. Äl sagt:

    vielen dank, hat mir auch sehr weitergeholfen.. schön übersichtlich gemacht =)

  9. Foo sagt:

    Moin,
    Beim Vereinfachen des Binoms, nach der QE, ist das 1/2 verloren gegangen.

    Richtig wäre:
    a*(x+(b/2a))²+…

  10. hells sagt:

    danke !!
    ihr habt mir das leben gerettet!! =)

  11. isi sagt:

    wie kann ich den parameter a von der parabel ablesen??

  12. Insa sagt:

    Mega gute Seite. Hat mir sehr geholfen!

    Tippitoppi!

  13. Phillipkriegtkeine sagt:

    Die Seite ist echt gut 😀 UNd was sagst du8 jetzt du nase ,

  14. angel.rose sagt:

    Hey eine Frage
    Wie sieht eine Parabel aus wenn die Gleichung f(x)=(x-1)² +3 lautet?
    Ist die Parabel dann noch oben oder nach unten geöffnet?

  15. PUS sagt:

    Die Formel oben ist falsch!
    Der Term b/a muss b/2a heißen:
    Richtig ist:
    f(x)=a(x+b/2a)^2+(c-b^2/(4a))

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