Eine Funktion der Form f(x)=ax²+bx+c heißt quadratische Funktion. Der graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Ist f(x)=x², so ist der Graph die Normalparabel.

Eigenschaften der Parabel

Eine Parabel kann entweder nach oben oder nach unten geöffnet sein. Dies wird durch das Vorzeichen von a festgelegt: Ist a positiv, so ist die Parabel nach oben geöffnet. Ist a negativ, so ist die Parabel nach unten geöffnet.
Jede Parabel hat entweder einen niedrigsten Punkt (wenn sie nach oben geöffnet ist) oder einen höchsten Punkt (wenn sie nach unten geöffnet ist). Dieser Punkt heißt Scheitelpunkt.
Die Parabel ist achsensymmetrisch zu einer Parallelen zur y-Achse, die durch den Scheitelpunkt verläuft.

Scheitelform einer Quadratischen Funktion

Die Form f(x)=a(x-d)²+e heißt Scheitelform, da aus dieser Form die Koordinaten des Scheitelpunktes direkt abgelesen werden kann. Der x-Wert ist d, der y-Wert e: Besonders beim x-Wert muss beim Ablesen des x-Wertes muss genau auf die Vorzeichen geachtet werden.
Die Normalform f(x)=ax²+bx+c kann durch eine quadratische Ergänzung in die Scheitelform umgewandelt werden:

1. Ausklammern von a:
2. Quadratische Ergänzung:
3. Anwenden der binomischne Formeln und Ausmultiplizieren:

Damit liegt die Funktion in der Scheitelform vor.

Bedeutung der Parameter a, d und e

Die quadratische Funktion f(x)=a(x-d)²+e ist durch die drei Parameter a, d und e festgelegt. Diese haben unterschiedliche Bedeutung für die Parabel:
a ist der sogenannte Formfaktor, der die Form und Öffnung der Parabel beeinflusst; Ist a=1 bzw. a=-1, so hat der Graph die Form einer nach oben (bzw. unten) geöffneten Normalparabel.
Ist der Betrag von a größer als 1, so ist die Parabel in y-Richtung gestreckt, d.h. der Graph dieser Funktion ist schmaler als der der Normalparabel.
Ist der Betrag von a kleiner als 1, so ist die Parabel in y-Richtung gestaucht, also breiter als die Normalparabel.

Abbildung: Auswirkung des Formfaktors a auf den Graphen einer quadratischen Funktion.

Ist a=0, so ist f(x)=e, es liegt also keine echt quadratische Funktion und damit auch keine echte Parabel mehr vor.
Die Parameter d und e entsprechen den Koordinaten des Scheitels, sie beschreiben also die Verschiebung der Parabel. d beschreibt dabei die Verschiebung in x-Richtung, e die Verschiebung in y-Richtung.

Nullstellen quadratischer Funktionen

Diejenigen Punkte, in denen der Graph die x-Achse schneidet, heißen Nullstellen, da an diesen der y-Wert 0 ist. Eine Parabel kann zwei, eine oder keine Nullstelle haben. Diese werden berechnet, in dem die quadratische Gleichung a(x-d)²+e=0 gelöst wird.
Die Lösungen dieser Gleichung sind die x-Werte der Nullstellen.

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This entry was posted on Tuesday, January 29th, 2008 at 17:28 and is filed under Mathematik. You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed. You can leave a response, or trackback from your own site.