Der Stahlensatz oder Vierstreckensatz ist ein wichtiger Satz der Geometrie, der Aussagen über Streckenverhältnisse in speziellen Figuren macht. Er ist ein äußerst wichtiges Hilfsmittel in der Vermessungstechnik.
Der Strahlensatz
Voraussetzung für die Anwendbarkeit des Strahlensatzes sind zwei sich Schneidende Geraden, die von einem zweiten Paar paralleler geraden Geschnitten werden (Siehe Abb.)
An einer solchen geraden Kreuzung gelten die folgenden zwei Aussagen:
- Das Verhältnis zweier Abschnitte auf der geraden g ist gleich dem Verhältnis der entsprechenden Abschnitte auf h.
- Das Verhältnis der Abschnitte auf den Parallelen ist gleich dem Verhältnis der Entfernungen ihrer Schnittpunktemit g (bzw. h) zum Ounkt S:
Abbildung 1: Strahlensatz, V-Figur
Strahlensatz: X-Figur
Herleitung
Der Strahlensatz kann aus der Ähnlichkeit der beiden Dreiecke, die durch die Parallelen und die Geraden g und h gebildet werden (in der Abbildung rot bzw. blau markiert), hergeleitet werden. Auf Grund dieser Ähnlichkeit ist das Verhältnis entsprechender Seiten der Dreiecke nämlich stets gleich.
Anwendungsmöglichkeiten
Der Strahlensatz wird in der Regel angewendet um Messungen durchzuführen, bei denen schwer zugängliche Strecken gemessen werden sollen (z.B.: Breite eines Flusses). Mit Hilfe des Strahlensatzes lassen sich solche Strecken auf leichter zugängliche zurückführen.