Satzgruppe des Pythagoras: Höhensatz

Der Höhensatz ist ein Satz aus der Satzgruppe des Pythagoras. Er gilt in allen rechtwinkligen Dreiecken.

Der Höhensatz

In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe h gleich dem Produkt der Hypothenusenabschnitte p und q:

Umwandlung von Rechtecken in flächengleiche Quadrate

Eine wichtige Anwendung des Höhensatz ist die Umwandlung eines Rechtecks in ein flächengleiches Quadrat. Dadurch lassen sich leicht Quadrate beliebigen Flächeninhalts konstruieren. Diese Konstruktion erfolgt folgendermaßen:

1. Man zeichnet die Hypothenuse des rechtwinkligen Dreiecks. Diese hat die Länge c=p+q, wobei p und q die Seitenlängen des gegebenen Rechtecks sind
2. Die Hypothenuse wird in zwei Abschnitte mit den Längen p und q unterteilt.
3. An dem Punkt zwischen diesen beiden Abschnitten wird das Lot auf der Hypothenuse errichtet.
4. Das Lot wird mit dem Thaleskreis über der Hypothenuse geschnitten.
5. Der Schnittpunkt bildet mit den Enden der Hypothenuse ein rechtwinkliges Dreieck.
6. Das Quadrat wird konstruiert; es hat den gewünschten Flächeninhalt.

Mit diesen 6 Schritten erhält man die obenstehende Figur, ausgehend vom Rechteck pq. Alternativ kann diese Konstruktion mit Hilfe des Kathetensatzes durchgeführt werden.