Der Wichtigste der drei Sätze aus der Satzgruppe des Pythagoras ist der Satz des Pythagoras. Es ist der wohl bekannteste Satz in der Mathematik überhaupt.
Der Satz des Pythagoras
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypothenuse (die längste Seite des Dreiecks) gleich der Summe der Quadrate über den beiden Katheten (die kürzeren Seiten).
Oder als Formel geschrieben: a²+b²=c². Dabei sind a und b die Katheten, c die Hypothenuse des Dreiecks:
Beweis fĂĽr den Satz des Pythagoras
Ein einfacher Beweis ist die folgende Zerlegung eines Quadrats der Seitenlänge a+b:
In diesem Bild kann die Fläche des gesamten Quadrats mit 2 Termen beschrieben werden:
- Als Quadrat der Kantenlänge: A=(a+b)²=a²+2ab+b²
- Als Summe der Fläche des mittleren (roten) Quadrats und der blauen Dreiecke:
A=c²+4(0,5ab)=c²+2ab
Gleichsetzen dieser Beiden Terme liefert: a²+2ab+b²=c²+2ab oder, subtrahiert man auf beiden Seiten 2ab:
a²+b²=c²
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