Berechnung des Schnittpunkts von zwei Geraden im Raum

Eine häufige Aufgabe in der analytischen Geometrie ist die Berechnung des Schnittpunktes von zwei Geraden. Dafür wird das folgende Verfahren angewendet.

Berechnung des Schnittpunkts

Es seien die Geraden und gegeben. Der Schnittpunkt wird nun folgendermaßen berechnet:

• Gleichsetzen der Ebenengleichungen:
  Dies liefert ein lineares Gleichungssystem mit den 2 Unbekannten und , und drei Gleichungen. In obigem Beispiel erhalten wir:
  
• Lösen des Gleichungssystems:
  Dieses Gleichungssystem wird nun gelöst. Dafür gibt es folgende Verfahren:
  • Das Graphische Lösungsverfahren
  • Das Einsetzverfahren
  • Das Gleichsetzungsverfahren
  • Das Additionsverfahren
  • Das Lösungsverfahren mit Hilfe von Determinanten

  In unserem Beispiel erhalten wir die eindeutige Lösung . Wichtig ist dabei, dass die gefundene Lösung (die man bereits aus den ersten beiden Gleichungen erhält) auch nochmals in die dritte Gleichung eingesetzt wird, um sie zu verifizieren. Liefert dieses Einsetzen eine flasche Gleichung, so hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung!

• Interpretation der Lösung:
  Wie wir wissen, gibt es für die Lösbarkeit von Gleichungssystemen verschiedene Möglichkeiten:
  1. Es gibt eine Eindeutige Lösung:
     Die gefundene Lösung liefert durch Einsetzen von bzw. in die Gleichung einer der Geraden den Schnittpunkt. Zur Kontrolle empfiehlt es sich, die Lösung mit Hilfe der jeweils anderen Geraden nochmals zu überprüfen.
     In unserem Beispiel erhalten wir den Schnittpunkt: S=(1/2/3)
  2. Es gibt unendlich viele Lösungen:
     Die beiden Geraden sind identisch.
  3. Es gibt keine Lösung:
     Die Geraden sind entweder parallel, aber nicht identisch, oder sie sind windschief. Um was dabei zutrifft, überprüfen wir, ob die beiden Richtungsvektoren der Geraden parallel, also linear abhängig, sind oder nicht.
     Sind die Richtungsvektoren linear abhängig, so sind die Geraden parallel, sind sie linear unabhängig, dann sind die Geraden windschief.