Kurvendiskussion: Bestimmung von Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion f sind diejenigen Stellen, an denen der die Funktion den y-Wert 0 annimmt. Dies entspricht den Stellen, an denen der Graph der Funktion die x-Achse schneidet.

Bestimmung von Nullstellen

Grundsätzlich muss zur Bestimmung der Nullstellen stets die Gleichung f(x)=0 gelöst werden. Das genauere Vorgehen hängt entscheidend von der Art der Funktion ab:

  • Ganzrationale Funktionen (Polynome):Die Gleichung f(x)=0 führt entweder auf eine quadratische Gleichung oder auf ein höhergradiges (der Grad eines Polynoms ist der höchste vorkommende Exponent von x) Polynom. Ist der Grad dieser Gleichung größer oder gleich 3, so ist folgendes Verfahren Anzuwenden:
    1. Raten von Nullstellen: Zunächst muss man eine Nullstelle erraten, dabei sollten in der Regel Werte wie -1, 0 oder 1 in die Funktionsgleichung eingesetzt werden
    2. Polynomdivision: Ist eine Nullstelle x01.gif gefunden, so wird das Polynom durch den Term x-x_0.gif geteilt (Polynomdivision)
    3. Mit dem neuen Polynom (das Ergebnis der Polynomdivision) werden solange die ersten beiden Schritte wiederholt, bis der Grad des Polynoms 2 ist. Beim Raten der Nullstelle müssen auch die bereits gefundenen Werte erneut ausprobiert werden (dies könnten doppelte Nullstellen sein).

    Die nun erhaltene quadratische Gleichung wird mit Hilfe einer quadratischen Ergänzung oder der Mitternachtsformel gelöst.

  • Gebrochenrationale Funktionen: Die Nullstellen des Zählers werden wie oben bestimmt. Sie sind identisch mit den Nullstellen der gesamten Funktion. Eine Ausnahme dieser Regel liegt dann vor, wenn die Nullstellen des Zählers auch Nullstellen des Nenners sind. Dann handelt es sich um hebbare Definitionslücken. Diese werden zunächst gekürzt, bis sie entweder nur noch im Zähler oder im Nenner vorhanden sind.
  • Wurzelfunktionen: Nur der Radikand wird gleich Null gesetzt.
  • Logarithmusfunktionen: Das Argument des Logarithmus wird gleich 1 gesetzt.
  • Potenzfunktionen: Reine Potenzfunktionen haben keine Nullstellen (z.B: 2x.gif). Kommt noch ein Absolutglied hinzu wird wieder der Funktionsterm gleich 0 gesetzt. Von diesen Gleichungen können einige dann durch logarithmieren gelöst werden.
  • Trigonometrische Funktionen: Diese haben in der Regel unendlich viele Nullstellen. Das Argument der Funktion muss mit den bekannten Nullstellen gleichgesetzt werden (zum Beispiel beim sinus mit allen Vielfachen von 180° bzwpi.gif.

Doppelte und mehrfache Nullstellen

Eine Nullstelle heißt doppelt, dreifach usw., wenn der Term x-x_0.gif in zweiter, dritter usw. Potenz im Funktionsterm enthalten ist. Ist der Exponent dieses Terms gerade, so handelt es sich nur um eine „Berührstelle“, d.h. die x-Achse wird vom Graphen nicht geschnitten, sondern nur Berührt, das Vorzeichen der Funktion ändert sich nicht.

Ist der Exponent dagegen ungerade, so handelt es sich um eine echte Nullstelle, bei der die x-Achse echt geschnitten wird und sich auch das Vorzeichen der Funktion an dieser Stelle ändert.

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