Kurvendiskussion: Steigungsverhalten und Monotonie

Die Untersuchung des Steigungsverhaltens und der Monotonie ist ein Bestandteil der Kurvendiskussion. Beide Untersuchungen erfolgen über eine Betrachtung der Ableitung.

Monotonie: Definition

Eine Funktion heißt

  • monoton steigend, wenn der Graph, von links nach rechts betrachtet, steigt oder parallel zur x-Achse verläuft; dies ist gleichbedeutend damit, dass die Ableitung größer oder gleich 0 ist.
  • streng monoton steigend, wenn der Graph echt steigt, also die Ableitung echt größer als 0 ist.
  • (streng) monoton fallend, wenn der Graph, von links nach rechts betrachtet (echt) fällt.

Untersuchung der Monotonie

Zur Untersuchung des Monotonieverhaltens ist es notwendig, die Nullstellen der Ableitung also die Lage der (möglichen) Extrema zu kennen. Anschließend wird wieder eine Vorzeichentabelle erstellt, beziehungsweise zwischen jedem (möglichen) Extremum ein beliebiger Wert eingesetzt. Nun gilt, wie oben schon angedeutet:

  • ableitunggroser0.giff ist monoton steigend
  • ableitungkleiner0.giff ist monoton fallend

Hier wird üblicherweise nicht zwischen streng monoton und monoton unterschieden.

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