Kurvendiskussion: Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs

Mit dem Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs ist gemeint, welcher Funktionswert angenommen wird, wenn der x-Wert sehr nahe an einem Rand des Definitionsbereichs liegt. Ränder des Definitionsbereichs sind Definitionslücken sowie das Verhalten im Unendlichen.

Der Grenzwert im Unendlichen

  • Für Ganzrationale Funktionen: Der Grenzwert einer ganzrationalen Funktion (Polynom) ist stets +unendlich.gif oder –unendlich.gif. Dabei ist der führende (größte) Exponent n entscheidend; Ist dieser
    • gerade, so ist lim_1.gif, d.h. der das Verhalten von f(x) ist vom Vorzeichen des Koeffizienten abhängig: ist dieser negativ, so ghet f(x) stets gegen –unendlich.gif, ist er positiv so geht auch f(x) gegen +unendlich.gif
    • ungerade, so ist der Grenzwert von xn.gif gleich dem Verhalten von x. Geht also x gegen –unendlich.gif, so geht auch xn.gif gegen –unendlich.gif. Geht x gegen +unendlich.gif, so geht auch xn.gif gegen +unendlich.gif.
  • Für gebrochenrationale Funktionen: Der Grenzwert ist entweder gleich 0, einer Konstanten oder wieder unendlich.gif. Hierbei ist entscheidend, ob der Grad des Zählers oder des Nenners größer ist (der Grad einer Funktion ist der höchste vorkommende Exponent von x):
    • Zählergrad < Nennergrad, z.B: zgkleienrng.gif: Der Grenzwert ist immer Null.
    • Zählergrad = Nennergrad, z.B: zggleichng.gif: Der Grenzwert ist der Quotient der führenden Koeffizienten (hier: 9drittel.gif).
    • Zählergrad > Nennergrad, z.B: zggroserng.gif: Der Grenzwert ist +unendlich.gif oder –unendlich.gif, je nachdem, welches Vorzeichen die führenden Koeffizienten haben: Ist das Vorzeichen von Zähler und Nenner unterschiedlich, so ergibt sich als Grenzwert –unendlich.gif, ist das Vorzeichen gleich, so ergibt sich +unendlich.gif. Im obigen Beispiel ist der Grenzwert also –unendlich.gif
  • Auch kann das Verhalten im Unendlichen bestimmt werden, indem Werte eingesetzt werden, indem ausreichend große, beziehungsweise ausreichend kleine Funktionswerte eingesetzt werden.

Das Verhalten an Definitionslücken

An nicht hebbaren Definitionslücken geht f(x) stets gegen unendlich. Das Vorzeichen kann am leichtesten bestimmt werden, indem man Werte, die nah genug an der Definitionslücke liegen in die Funktion einsetzt. Dabei darf zwischem dem eingesetzten Wert und der Definitionslücke keine weitere Nullstelle oder Definitionslücke der Funktion liegen.

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