Kurvendiskussion: Symmetrie

Die Symmetrieuntersuchung ist ein wesentlicher Bestandteil der Kurvendiskussion. Dabei wird untersucht, ob der Graph der Funktion eine Symmetrie aufweist.

Man unterscheidet zwei verschiedene Arten der Symmetrie:

  • Punktsymmetrie zum Ursprung
  • Achsensymmetrie zur y-Achse

Punktsymmetrie zum Ursprung

Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn eine Punktspiegelung am Ursprung den Graphen auf sich selbst abbildet. Dies Bedeutet, dass f(-x)=-f(x) ist. Eine Umkehrung des Vorzeichens des x-Wertes hat also auch eine Umkehrung des y-Wertes zur Folge.

Im allgemeinen sind folgende Funktionen Punktsymmetrisch zum Ursprung:

  • Polynome, bei denen alle Exponenten von x ungerade sind, also beispielsweise f(x)=x³+3x
  • Die Sinusfunktion: f(x)=sin x
  • Die Tangensfunktion: f(x)=tan x
  • gebrochen Rationale Funktionen, deren Zähler und Nenner unterschiedliche Symmetrien haben

Achsensymmetrie zur y-Achse

Achsensymmetrie bedeutet, dass der Graph bei einer Achsenspiegelung an der y-Achse auf sich selbst abgebildet hat. Dies bedeutet, dass x und -x denn gleichen y-Wert haben, also f(x)=f(-x) gilt.

Allgemein sind die folgenden Funktionen achsensymmetrisch zur y-Achse:

  • Polynome, bei denen alle Exponenten von x gerade sind, also beispielsweise
    f(x)=x²+3

    Dabei muss beachtet werden, dass , also ein Absolutglied auch als gerader Exponent gilt.

  • Die Cosinus-Funktion
  • gebrochen-rationale Funktionen, deren Zähler und Nenner gleiche Symmetrie besitzen.

Anmerkungen

Mit den oben erklärten Methoden wird die Funktion allerdings nur auf zwei sehr spezielle Symmetriearten untersucht. Dies sind nur die Symmetrien zum Ursprung und der y-Achse, ob eine Funktion symmetrisch zu einer anderen Geraden oder einem anderen Punkt ist, kann so nicht festgestellt werden.

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