Lineare Gleichungssysteme – Das Einsetzverfahren

Das Einsetzverfahren

Beim Einsetzverfahren wird zunächst eine beliebige Gleichung nach einer beliebigen Variable aufgelöst. Ist beispielsweise folgendes Lineare Gleichungssystem gegeben: , so kann man die zweite Gleichung leicht nach x auflösen und erhält:

II*: x=6-2y

Nun wird in der ersten Gleichung x durch diesen Term 6-2y ersetzt:

I: 4(6-2y)-2y=4

In dieser Gleichung liegt nur noch eine Unbekannte vor, die jetzt bestimmt werden kann: y=2 Diese Lösung kann nun in die zweite Gleichung eingesetzt werden:

II*: x=6-2y=6-4=2

Damit ist das Gleichungssystem gelöst: x=2, y=2

Gleichungssysteme mit mehr als 2 Unbekannten

Der Lösungsalgorithmus ist auch hier der Gleiche: Eine Gleichung wird nach einer Variablen aufgelöst, die Lösung in die verbleibenden Gleichungen eingesetzt. Nun wird von den verbleibenden Gleichungen eine weitere nach einer anderen Variablen aufgelöst, bis schließlich eine Variable eindeutig bestimmt werden kann

Lösbarkeit des Gleichungssystems:

Auch hier gibt es wieder drei Verschiedene Möglichkeiten:

  1. Eine eindeutige Lösung: siehe obiges Beispiel
  2. Keine Lösung: Das Einsetzen führt zu einer Unlösbaren Gleichung (z.B: 3=0)
  3. Unendlich viele Lösungen: Das Einsetzen führt auf eine Gleichung die immer wahr ist (z.B: 0=0)
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5 Kommentare zu Lineare Gleichungssysteme – Das Einsetzverfahren

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  3. Carina sagt:

    was ergibt
    |3y-9x=9 |
    |x-2y=4 | es ist eine aufgabe und man soll sie mit dem einsetzungsverfahren lösen

  4. Polynomdivision sagt:

    Man löst die erste Gleichung nach x auf ergibt also :
    3y-9x=9 x=4+2y
    dann unten einsetzen:
    3y-9*(4+2y)=9 df: y = 15/7
    wieder oben einsetzen:
    x-(4*15/7) = 4
    x- 60/7=4
    x=4+60/7
    x= 88/7

    y= 15/7
    x=88/7

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