Lineare Gleichungssysteme – Übersicht und Lösungsverfahren

Ein Lineares Gleichungssystem ist ein System von zwei oder mehr Gleichungen mit mindestens zwei Unbekannten:

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Definitionen

Ein Gleichungssystem heißt unterbestimmt, wenn es weniger Gleichungen als Unbekannte hat. Ein Gleichungssystem mit mehr Gleichungen als Variablen heißt überbestimmt.

Lösungsverfahren

Zur Lösung linearer Gleichungssystem gibt es folgende Verfahren

  1. Das Graphische Lösungsverfahren
  2. Das Einsetzverfahren
  3. Das Gleichsetzungsverfahren
  4. Das Additionsverfahren
  5. Das Lösungsverfahren mit Hilfe von Determinanten

Lösbarkeit

Lineare Gleichungssysteme haben stets entweder eine eindeutige, keine oder unendlich viele Lösungen. Ein unterbestimmtes Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung haben, es hat entweder unendlich viele oder keine Lösung. Beim überbestimmten Gleichungssystem ist nach ermittlung der Lösung aus einigen Gleichungen noch zu überprüfen, ob diese auch alle weiteren Gleichungen löst.

Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen unterscheidet man nach der Zahl der sogenannten Freiheitsgrade. Dies ist die Zahl der Unbekannten die nicht in abhängigkeit von den anderen Bestimmt werden kann.

Beispiele:

Lässt sich ein lineares Gleichungssystem auf folgendes zurückführen:

I: x=x

II: y=y

III: z=x+3y+10

so hat es 2 Freiheitsgrade (x und y sind frei wählbar).

Dagegen hat folgendes Gleichungssystem

I: x=x

II: y=3x+7

III: z=2x-8

nur einen Freiheitsgrad (nur x ist frei wählbar)

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4 Kommentare zu Lineare Gleichungssysteme – Übersicht und Lösungsverfahren

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