Kurvendisskusion: Extrema

Definition

Extremum ist der Überbegriff für globale/lokale Maxima und Minima. Ein Globales Maximum/Minimum einer funktion f ist der größte/kleinste von der Funktion angenommene Wert. Lokale Maximum/Minimum ist ein Punkt der Funktion, in dessen Umgebung kein größerer/kleinerer Wert angenommen wird.
In Folgender Zeichnung sind diese Begriffe noch einmal graphisch veranschaulicht:

extrema_img1.gif

Untersuchung lokaler Extrema

Zur Untersuchung lokaler Extrema nutzt man die Eigenschaft aus, dass die Tangente an einem Extremum stets waagrecht (parallel zur x-Achse) ist, was gleichbedeutend dazu ist, dass die Ableitung f'(x) gleich 0 ist.

Dies ist jedoch lediglich ein notwendiges Kriterium, d.h. an jedem Extremum ist die Ableitung gleich 0, aber nicht jede Stelle, an der die Ableitung gleich 0 ist, ist auch ein Extremum. Die einfachste Methode zur Überprüfung der gefundenen Stellen möglicher Extrema ist eine Vorzeichentabelle:

Hierzu trägt man in eine Tabelle alle Nullstellen der Ableitung f'(x) ein. Zwischen diesen Werten wird je ein beliebiger Wert in die Ableitung eingesetzt, und das Vorzeichen in die Tabelle eingetragen. Hat eine Funktion f also beispielsweise die Ableitung extrema_img2.gif, so ergibt sich folgende Vorzeichentabelle:

extrema_img3.gif

Anhand dieser können wir nun die Art der Extrema ablesen. Hat die Ableitung auf beiden Seiten einer Nullstelle Gleiches Vorzeichen, so ändert sich an dieser das Steigungsverhalten der Funktion f nicht, es liegt ein Terassenpunkt vor. Ist die Ableitung auf der linken Seite negativ, auf der rechten positiv, so liegt ein Minimum vor (f fällt zunächst und steigt nach der Nullstelle von f‘ wieder), ist f‘ erst positiv, dann negativ so liegt ein Minimum vor.

Hat f‘ neben den Nullstellen auch Definitionslücken, so werden diese Ebenso in die Vorzeichentabelle eingetragen, da sich auch hier das Vorzeichen der Ableitung ändern kann, ohne dass ein Extremum vorliegt.

Eine weitere Methode zur untersuchung möglicher Extrema ist die zweite Ableitung: Hierzu wird f'(x) abgeleitet, man erhält die zweite Ableitung f“(x). Diese macht eine Aussage über das Krümmungsverhalten von f: Ist die zweite Ableitung negativ, so ist f „rechtsgekrümmt“, ist f“ positiv, so ist f „linksgekrümmt“ (Krümmung immer von links nach rechts betrachtet). Man betrachtet nun an den Nullstellen der ersten Ableitung das Vorzeichen der zweiten Ableitung: Bei negativer zweiten Ableitung liegt ein Maximum vor (da f rechtsgekrümmt ist), bei positiver ein Minimum. Ist f“ jedoch ebenfalls gleich 0, so kann mit Hilfe der zweiten Ableitung keine Aussage über die Art des Extremums getroffen werden.

Anschließend können noch die y-Werte der Extrema bestimmt werden, indem die ermittelten x-Werte in die Ausgangsfunktion f eingesetzt werden.

Globale Extrema

Bei der Ermittlung der globalen Extrema ist noch zusätzlich eine Untersuchung der Ränder des Definitionsbereichs nötig (in der Regel Berechnung von extrema_img4.gif, aber auch die Ränder an einfachen Definitionslücken müssen untersucht werden!). Anschließend werden von allen Extrema die y-Werte berechnet. Der höchste Funktionswert, der am Rand des Definitionsbereichs oder an einem Extremum angenommen wird, ist das globale Maximum, der niedrigste das globale Minimum. Wird dieser Wert mehrfach angenommen, so verfügt f über mehrere globale Extrema (wie Beispielsweise die sin-Funktion)

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Ein Kommentar zu Kurvendisskusion: Extrema

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