Quadratische Gleichungen: Lösungsverfahren

Quadratische Gleichungen: Lösungsverfahren

Definition

Eine Gleichung der Form nennt man quadratische Gleichung. heißt quadratisches, bx lineares und c konstantes Glied, a und b sind die Koeffizienten des jeweiligen Gliedes.

Lösungsverfahren

1. Für Gleichungen ohne konstantes Glied (c=0):

Bei fehlendem konstanten Glied kann wird die linke Seite durch Ausklammern von x faktorisiert: Dieses Produkt ist genau dann gleich 0, wenn mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist. Die erste Lösung ist damit x=0, die zweite erhält man, indem man ax+b=0 setzt:

1. Für Gleichungen ohne lineares Glied (b=0):

Bei fehlendem linearen Glied wird auf beiden Seiten c subtrahiert und man erhält: Durch radizieren (Wurzel ziehen) erhält man dann als Lösung: Eine solche Gleichung ist nur dann lösbar, wenn c negativ ist, da man sonst die Wurzel aus -c nicht definiert ist.

1. Für beliebige Gleichungen:Das Lösungsverfahren für allgemeine quadratische Gleichungen ist die quadratische Ergänzung. Diese besteht aus folgenden Schritten:
   • Normierung:

   Beide Seiten werden durch a dividiert: (Ziel ist, den Koeffizienten des quadratischen Glieds zu normieren, d.h. zu 1 zu machen)

   • Ergänzung:

   Nun addiert man auf beiden Seiten das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten des linearen Gliedes ; anschließend wird das konstante Glied auf die rechte Seite gezogen: Ziel ist durch die Ergänzung auf der linken Seite eine binomische Formel zu erhalten, aus der wir nun die Wurzel ziehen können.

   • Radizieren:

   Nach der Ergänzung ist es möglich, auf beiden Seiten die Wurzel zu ziehen. Dies ist keine Äquivalenzumformung! Deshalb erhalten wir: Nun können wir die erhaltene lineare Gleichung nach x auflösen und erhalten die Lösungen:

Durch Vereinfachen dieses Lösungsterms erhält man

1. die “Mitternachtsformel”:

Lösbarkeit quadratischer Gleichungen

Da wir aus negativen Zahlen nicht die Wurzel ziehen können, haben nicht alle quadratische Gleichungen auch wirklich zwei Lösungen. Betrachtet man den Radikanden in der Mitternachtsformel, die sogenannte Diskriminante , so erhält man folgende Zusammenhänge:

1. Keine Lösung: d
2. Genau eine Lösung: d=0
3. Zwei verschiedene Lösungen: d>0