Quadratische Gleichungen: Lösungsverfahren

Quadratische Gleichungen: Lösungsverfahren

Definition

Eine Gleichung der Form quadratische_gleichungen_img nennt man quadratische Gleichung. quadratische_gleichungen_img heißt quadratisches, bx lineares und c konstantes Glied, a und b sind die Koeffizienten des jeweiligen Gliedes.

Lösungsverfahren

  1. Für Gleichungen ohne konstantes Glied (c=0):

Bei fehlendem konstanten Glied kann wird die linke Seite durch Ausklammern von x faktorisiert: quadratische_gleichungen_img Dieses Produkt ist genau dann gleich 0, wenn mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist. Die erste Lösung ist damit x=0, die zweite erhält man, indem man ax+b=0 setzt: quadratische_gleichungen_img

  1. Für Gleichungen ohne lineares Glied (b=0):

Bei fehlendem linearen Glied wird auf beiden Seiten c subtrahiert und man erhält: quadratische_gleichungen_img Durch radizieren (Wurzel ziehen) erhält man dann als Lösung: quadratische_gleichungen_img Eine solche Gleichung ist nur dann lösbar, wenn c negativ ist, da man sonst die Wurzel aus -c nicht definiert ist.

  1. Für beliebige Gleichungen:Das Lösungsverfahren für allgemeine quadratische Gleichungen ist die quadratische Ergänzung. Diese besteht aus folgenden Schritten:
    • Normierung:

    Beide Seiten werden durch a dividiert: quadratische_gleichungen_img (Ziel ist, den Koeffizienten des quadratischen Glieds zu normieren, d.h. zu 1 zu machen)

    • Ergänzung:

    Nun addiert man auf beiden Seiten das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten des linearen Gliedes quadratische_gleichungen_img; anschließend wird das konstante Glied quadratische_gleichungen_img auf die rechte Seite gezogen: quadratische_gleichungen_img Ziel ist durch die Ergänzung auf der linken Seite eine binomische Formel zu erhalten, aus der wir nun die Wurzel ziehen können.

    • Radizieren:

    Nach der Ergänzung ist es möglich, auf beiden Seiten die Wurzel zu ziehen. Dies ist keine Äquivalenzumformung! Deshalb erhalten wir: quadratische_gleichungen_img Nun können wir die erhaltene lineare Gleichung nach x auflösen und erhalten die Lösungen: quadratische_gleichungen_img

Durch Vereinfachen dieses Lösungsterms erhält man

  1. die „Mitternachtsformel“:

quadratische_gleichungen_img

Lösbarkeit quadratischer Gleichungen

Da wir aus negativen Zahlen nicht die Wurzel ziehen können, haben nicht alle quadratische Gleichungen auch wirklich zwei Lösungen. Betrachtet man den Radikanden in der Mitternachtsformel, die sogenannte Diskriminante quadratische_gleichungen_img , so erhält man folgende Zusammenhänge:

  1. Keine Lösung: d
  2. Genau eine Lösung: d=0
  3. Zwei verschiedene Lösungen: d>0
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Ein Kommentar zu Quadratische Gleichungen: Lösungsverfahren

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