Die Ableitung: Definition, Rechenregeln, Anwendungsbeispiele

Die Ableitung f'(x) einer differenzierbaren Funktion f(x) gibt die Steigung des Funktionsgraphen von f an der Stelle x an.

Definitionen

  • Der Differenzenquotient ist der Quotient der Differenzen zweier x-Werte und der entsprechenden y-Werte (entspricht der Steigung einer Linearen Funktion durch diese Punkte):ableitung_img1.gif
  • Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für infinitesimal kleine Differenzen der x-Werte
  • Die Ableitung ist die Funktion der Differenzenquotienten. Sie hat also für jeden x-Wert den Wert des zugehörigen Differenzenquotienten: ableitung_img2.gifDies Entspricht der Steigung der Tangenten im Punkt x.

Rechenregeln

Bei der Berechnung der Ableitungsfunktion helfen folgende Rechenregeln:

  1. Multiplikation mit einer Konstanten c:ableitung_img3.gif
  2. Ableitung für Potenzen von x mit reellem Exponenten k: ableitung_img9.gif
  3. Die Summenregel: ableitung_img5.gif
  4. Die Produktregel: ableitung_img6.gif
  5. Die Quotientenregel: ableitung_img7.gif
  6. Die Kettenregel: ableitung_img8.gif

Weitere Wichtige Ableitungen sind:

  • Die Ableitung der Exponentialfunktion: ableitung_img9.gif
  • Die Ableitung der Logarithmusfunktion: ableitung_img10.gif
  • Die Ableitung der Sinusfunktion: ableitung_img11.gif
  • Die Ableitung der Cosinusfunktion: ableitung_img12.gif

Mit Hilfe dieser Regeln lassen sich nahezu alle Funktionen Ableiten.

Anwendungsbeispiele

Die Ableitung hat vielfältige Anwendung zum einen in der Differentialrechnung, zum anderen auch in der Physik und anderen Wissenschaften. In der Differentialrechnung dient die erste Ableitung zur Bestimmung möglicher Extrema (Minima, Maxima oder Terassenpunkte), in der Physik sind viele Größen, wie beispielsweise Ort und Geschwindigkeit über die Ableitung verknüpft.

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3 Kommentare zu Die Ableitung: Definition, Rechenregeln, Anwendungsbeispiele

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