Wer den Begriff Binomische Formeln kennt, der weiß, dass man (a+b)2 dem Term a2+2ab+b2 gleichsetzt/auflösen kann.
Muss man also für jede weitere Potenz eine weitere binomische Formel auswendig lernen? Nein, denn man kann die Potenzen einfach erschließen und die Koeffizienten am Pascalschen Dreieck ablesen:
Das Pascalsche Dreieck
Das Pascalsche Dreieck war schon im alten China bekannt und hat seinen Namen von Blaise Pascal. Es enthält die Binomialkoeffizienten, die hier im Dreieck so angeordnet sind, dass jeweils ein Eintrag die Summe der beiden über ihm stehenden anzeigt.
Die Koeffizienten für die im ersten Absatz genannte binomische Formel findet man im Pascalschen Dreieck in der dritten Zeile (1, 2, 1 -> 1a2+2ab+1b2), analog dazu die nächste Potenz in der vierten Zeile:
(a+b)3 = 1a3b0+3a2b1+3a1b2+1a0b3
Wie man die Potenzen erschließen kann
Die Potenzen ergeben sich ganz einfach wie folgt: Anhand des obigen Beispiels kann man erkennen, dass:
- die Potenz von
avon Summand zu Summand ausgehend von der Potenz über der ursprünglichen Klammer (Im Beispiel 3) jeweils um 1 kleiner wird - die Potenz von
bvon Summand zu Summand ausgehend von0jeweils um 1 größer wird, bis die Potenz über der ursprünglichen Klammer (Im Beispiel 3) erreicht wird
Wer die Bildung und den Zweck des Pascalschen Dreiecks kennt und weiß, wie man die richtigen Potenzen setzt, kann mit diesen beiden Teilen einfach und ohne langes herumrechnen binomische Formeln der Form (a+b)x in ihre leichter bearbeitbaren Formen umrechnen.
perfekte eingängige knappe Darstellung
Hallo, also auch nach der rechtschreibreform schreibt man: auswendig!!! und nicht auswändig – im Gegensatz zu aufwändig!
Gruß
Danke für den Hinweis — ich kann mir nicht erklären, wie das passieren konnte
Ist geändert.
Hallo
Ich versteh das noch nicht so ganz mit dem Pascalschen Dreieck und muss bald ein Referat über das halten, bin jetzt in der 8 Klasse, was würdet ihr alles drann bringen? Und gibt es irgendeine Formel wie man die 4te, 5te, 6te u.s.w. Binomische Formel ausrechnen kann oder ließt man das nur ihm Dreieck ab?
Wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir schnellst wie möglich antwortet.
@Gast:
Falls du dein Referat noch nicht gehalten hast, n paar Tips:
Dranbringen solltest du erstmal das historische (wie langs das Pascalsche Dreieck (im Folgenden PD) schon gibt usw. ) und dann halt das ganze noch mathematisch kurz erklären:
Wie das PD aufgebaut ist, ist eigtl. oben gut erklärt, insofern sollte das möglich sein. Zu deiner Frage nach 4ter, 5ter etc. Binomischer Formel: Die gibt’s eigtl. nicht, sondern nur die drei, die du in der 5./6. Klasse gelernt haben solltest, aber ich nehme mal an, das du ne Formel für (a+b)^4 etc. suchst. Da gibts im Prinzip drei möglichkeiten:
1. Ablesen aus PD (das ist ja das tolle an dem dreieck und deswegen wirds auch im Unttericht behandelt^^)
2. Ausmultiplizieren (Kennst du wohl aus der 5ten Klasse, ist aber bei Sachen wie (a+b)^10 extrem mühsam und ohne verrechnen kaum möglich…
3. Das Berechnen mithilfe der Binomialkoeffizienten (http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient), für das du aber einige Grundkenntnisse der Kombinatorik (11te oder 12te klasse) brauchst, weshalb das dir für dein Referat wenig helfen dürfte.
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daaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaankeeeeeeeeeeee!!!
stundenlang erklärte uns unser lehrer dies,doch jetzt (ein Tag vor der Arbeit) hab ichs endlich verstanden!!
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gilt das pascalsche dreieck auch für die dritte binomische formel?
Ich verstehs immer noch nicht und schreib nemorgen ne KLA mit unteranderem diese Dreick! ………………..
Vielen Dank ich habs jetzt endlich verstanden , das bringt mir wahnsinnig viel für meine GFS!!!! :*:*
Ja also ich hab in zwei Wochen eine GFS und ich check das pascalsche Dreieck auch nicht kanns mir bitte jemand erklären der es weiß?
Liebe güße Simon
so, hallo, ich würde gern wissen, was die binomalkoeffizienten sind, und was sie bringen. thx
Dankeschön für die tolle Erklärung:) Unser lehrer hat es uns schoneinmal erklärt aber ich hatte es leider wieder vergessen…oben ist es sehr gut erklärt dass mans gleich versteht:)
Super! Kurz und knackig erklärt
Hat mir sehr geholfen!