Binomische Formeln und das Pascalsche Dreieck

Wer den Begriff Binomische Formeln kennt, der weiß, dass man (a+b)2 dem Term a2+2ab+b2 gleichsetzt/auflösen kann.

Muss man also für jede weitere Potenz eine weitere binomische Formel auswendig lernen? Nein, denn man kann die Potenzen einfach erschließen und die Koeffizienten am Pascalschen Dreieck ablesen:

Das Pascalsche Dreieck

Das Pascalsche Dreieck war schon im alten China bekannt und hat seinen Namen von Blaise Pascal. Es enthält die Binomialkoeffizienten, die hier im Dreieck so angeordnet sind, dass jeweils ein Eintrag die Summe der beiden über ihm stehenden anzeigt.

Pascalsches Dreieck - Pascal triangle

Die Koeffizienten für die im ersten Absatz genannte binomische Formel findet man im Pascalschen Dreieck in der dritten Zeile (1, 2, 1 -> 1a2+2ab+1b2), analog dazu die nächste Potenz in der vierten Zeile:
(a+b)3 = 1a3b0+3a2b1+3a1b2+1a0b3

Wie man die Potenzen erschließen kann

Die Potenzen ergeben sich ganz einfach wie folgt: Anhand des obigen Beispiels kann man erkennen, dass:

  • die Potenz von a von Summand zu Summand ausgehend von der Potenz über der ursprünglichen Klammer (Im Beispiel 3) jeweils um 1 kleiner wird
  • die Potenz von b von Summand zu Summand ausgehend von 0 jeweils um 1 größer wird, bis die Potenz über der ursprünglichen Klammer (Im Beispiel 3) erreicht wird

Wer die Bildung und den Zweck des Pascalschen Dreiecks kennt und weiß, wie man die richtigen Potenzen setzt, kann mit diesen beiden Teilen einfach und ohne langes herumrechnen binomische Formeln der Form (a+b)x in ihre leichter bearbeitbaren Formen umrechnen.

Über admin

Admin und Chefredakteur von [exbook]
Dieser Beitrag wurde unter Mathematik veröffentlicht. Setze ein Lesezeichen auf den Permalink.

16 Kommentare zu Binomische Formeln und das Pascalsche Dreieck

  1. diefenbach sagt:

    perfekte eingängige knappe Darstellung

  2. Gerlinde Maier-Lamparter sagt:

    Hallo, also auch nach der rechtschreibreform schreibt man: auswendig!!! und nicht auswändig – im Gegensatz zu aufwändig!
    Gruß

  3. Danke für den Hinweis — ich kann mir nicht erklären, wie das passieren konnte 😉

    Ist geändert.

  4. Gast sagt:

    Hallo 😉
    Ich versteh das noch nicht so ganz mit dem Pascalschen Dreieck und muss bald ein Referat über das halten, bin jetzt in der 8 Klasse, was würdet ihr alles drann bringen? Und gibt es irgendeine Formel wie man die 4te, 5te, 6te u.s.w. Binomische Formel ausrechnen kann oder ließt man das nur ihm Dreieck ab?
    Wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir schnellst wie möglich antwortet.

  5. Christian sagt:

    @Gast:
    Falls du dein Referat noch nicht gehalten hast, n paar Tips:
    Dranbringen solltest du erstmal das historische (wie langs das Pascalsche Dreieck (im Folgenden PD) schon gibt usw. ) und dann halt das ganze noch mathematisch kurz erklären:
    Wie das PD aufgebaut ist, ist eigtl. oben gut erklärt, insofern sollte das möglich sein. Zu deiner Frage nach 4ter, 5ter etc. Binomischer Formel: Die gibt’s eigtl. nicht, sondern nur die drei, die du in der 5./6. Klasse gelernt haben solltest, aber ich nehme mal an, das du ne Formel für (a+b)^4 etc. suchst. Da gibts im Prinzip drei möglichkeiten:
    1. Ablesen aus PD (das ist ja das tolle an dem dreieck und deswegen wirds auch im Unttericht behandelt^^)
    2. Ausmultiplizieren (Kennst du wohl aus der 5ten Klasse, ist aber bei Sachen wie (a+b)^10 extrem mühsam und ohne verrechnen kaum möglich…
    3. Das Berechnen mithilfe der Binomialkoeffizienten (http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient), für das du aber einige Grundkenntnisse der Kombinatorik (11te oder 12te klasse) brauchst, weshalb das dir für dein Referat wenig helfen dürfte.

  6. Pingback: Quadratische Gleichungen: Lösungsverfahren » [exbook]

  7. mona sagt:

    daaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaankeeeeeeeeeeee!!!

    stundenlang erklärte uns unser lehrer dies,doch jetzt (ein Tag vor der Arbeit) hab ichs endlich verstanden!!

  8. Pingback: Quadratische Funktionen und deren Graphen (Parabeln) » [exbook]

  9. ich sagt:

    gilt das pascalsche dreieck auch für die dritte binomische formel?

  10. gast sagt:

    Ich verstehs immer noch nicht und schreib nemorgen ne KLA mit unteranderem diese Dreick! ………………..

  11. Alaina sagt:

    Vielen Dank ich habs jetzt endlich verstanden , das bringt mir wahnsinnig viel für meine GFS!!!! :*:*

    • SImon sagt:

      Ja also ich hab in zwei Wochen eine GFS und ich check das pascalsche Dreieck auch nicht kanns mir bitte jemand erklären der es weiß?
      Liebe güße Simon

  12. bumm sagt:

    so, hallo, ich würde gern wissen, was die binomalkoeffizienten sind, und was sie bringen. thx

  13. Jenny sagt:

    Dankeschön für die tolle Erklärung:) Unser lehrer hat es uns schoneinmal erklärt aber ich hatte es leider wieder vergessen…oben ist es sehr gut erklärt dass mans gleich versteht:)

  14. Zora sagt:

    Super! Kurz und knackig erklärt 😉 Hat mir sehr geholfen!

  15. Danke für die Hilfe :) sagt:

    Hallo ich muss ein Referat über den Unterschied zwischen den binomischen Formeln und dem pascalschen Dreieck halten. Kann mir vllt. Jemand helfen ich versteh das nämlich noch nicht so ganz oder wo kann man noch gut nachschauen

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert.