Trigonometrie – die Winkelfunktionen im Einheitskreis (Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens)

Bei ähnlichen Dreiecken sind entsprechende Seitenverhältnisse gleich groß (sie stimmen in 2 Winkeln überein).

Insbesondere gilt daher, dass die Verhältnisse entsprechender Seiten in allen rechtwinkligen Dreiecken gleich sind, die in einem weiteren Winkel übereinstimmen. Der Wert eines Seitenverhältnisses kennzeichnet also den zugehörigen Winkel und umgekehrt.

Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete von α

Definitionen der Winkelfunktionen am Einheitskreis:
Das Verhältnis von:

  • Gegenkathete von α zur Hypotenuse = Sinus α
  • Ankathete von α zur Hypotenuse = Cosinus α
  • Gegenkathete von α zur Ankathete von α = Tangens α
  • Ankathete von α zur Gegenkathete von α = Cotangens α

Über Julian

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56 Antworten auf Trigonometrie – die Winkelfunktionen im Einheitskreis (Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens)

  1. Jacqueline helmecke sagt:

    Hallo mein Name ist Jacqueline Helmecke,
    Ich würde gerne mehr über Hypotenuse,Ankathete und Gegenkathete wissen

  2. Hallo Jacqueline,
    inwiefern möchtest du mehr wissen? Über ihre Funktionen, oder genaue Definitionen der Begriffe?

    Die Illustration sollte darstellen, was Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete sind – bei Fragen einfach noachmal nachhaken.

    Grüße,
    Julian

  3. kjiji sagt:

    Abjegrüßt.
    hab mal ne frage, kann mir hier ma einer was zu technischen Anwendungen des Cotangens sagen?
    Dandekekjjji

  4. Hi,
    die trigonometrischen Funktionen werden hauptsächlich im Vermessungswesen genutzt – Stichwort Dreiecksgeometrie.
    Ansonsten in der Analysis und in Gebieten der Physik.
    Hoffe das hilft dir weiter,
    Julian

  5. schnukki sagt:

    was genau ist eigentlich sinus, kosinus und tangens??was drückt das aus???

  6. Sinus, Cosinus (Kosinus) und Tangens am Einheitskreis

    Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens drücken in der Geometrie das Verhältnis zwischen je zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks im Bezug auf einen Winkel aus.

    Dieses Bild verdeutlicht Sinus, Cosinus und Tanges am Modell des Einheitskreises (ein Kreis mit dem Radius r = 1).

    Viel ausführlicher gibt es das ganze noch bei Wikipedia: Sinus und Kosinus

  7. Christian sagt:

    Kurze Frage.
    D.h. also, das ich mithilfe von T. C. & S. eine der drei Seiten ausrechnen kann, sofern ich einen Winkelmaß habe?

  8. Du hast auf jeden Fall einen rechten Winkel – wenn ein zweiter Winkel bekannt ist, kannst du das Verhältnis der Dreiecksseiten mittels der Winkelfunktionen im Einheitskreis bestimmen. Da die Länge der jeweiligen Seiten nur durch das Verhältnis zueinander bestimmt ist, ist das Dreieck beliebig skalierbar.

  9. Rici sagt:

    ich schreibemorgen ne mathe arbeit und cheke garnichts!! HILFE!!!!!!! wi dürfen taschenrechner benutzen aber ich weis noch nicht mal was ich d eingeben muss!! ich muss durc s, c & t irgendwelche seitenverhältnisse bestimen eine aufgabeals bispiel:Drücke den Sinus,Kosinus & den Tangens durch ein Seitenverhältnis aus! ich kriege garniht gepeilt kann mir das jemand mal bitte erklären das wäre nett!!!

  10. Hi Rici, schau dir nochmal den Artikel oben an, da steht die Antwort auf deine Beispielaufgabe: Der Sinus des Winkels α entspricht dem Seitenverhältnis der Gegenkathete von α zur Hypotenuse (siehe Grafik!).

  11. Rici sagt:

    ok danke!! du bist meine rettung!! thx!! =)

  12. Jeyjey sagt:

    Hi
    Also ich habe da mal eine Frage,liegt die Gegenkathete von alpha immer Gegenüber vom Winkel alpha und liegt die Ankathete immer neben den Winkel Alpha??
    Wenn nicht,könnte mich dann mal bitte jemand aufklären??Ich blcike da nämlich gar nicht durch.

  13. Ja, das erkennt man auch an den Namen. Die Gegenkathete steht dem Winkel gegenüber, die Ankathete liegt am Winkel an.

  14. Nicht-mathe-könnerin sagt:

    ich verstehe diese ganze trigonometrie sache nicht. ich schreibe morgen eine mathe arbeit und kann garnichts:-(. ich brauche hilfe und das mit dem einheitskreis verstehe ich auch nicht. könnte mir das alles jemand etwas genauer erklären denn ich bin da eine totale anfängerin . HILFE!

  15. Minggää sagt:

    salve…;)
    hab dess grad in d 10-ten..
    is voll lol..
    also is net wirklich shcwer wnen mans dann mal kappiert hat…
    aber für nen “normalen Beruf” werdet ihr dess eh net brauche..
    somit…

    viel Spaß noch..;)

  16. Susi sagt:

    Eine Frage:Ich verstehe überhaupt nicht wie man fehlende Seiten oder Winkel ausrechnet,geschweigedenn wie man eine Formel auflöst(oder wie das auch immer heißt..).Wir machen das seit vier Wochen und ich kann immernoch kein System oder Sinn erkennen.Und wie geht das mit dem Einheitskreis?

  17. Der Sinus, Cosinus, Tangens oder Cotangens eines Winkels gibt jeweils das Verhältnis zweier Seiten eines Dreiecks als einfache Zahl an — welche Seiten das jeweils sind, steht oben und ist am Beispieldreieck eingezeichnet.

    Hat zum Beispiel die Gegenkathete die Länge 2 und die Ankathete die Länge 3, so ist also der Tangens 2/3 (Gegenkathete durch Ankathete).

    Der Winkel α lässt sich nun ganz einfach mit einem Taschenrechner bestimmen: Man gibt einfach tan-1(2/3) ein und erhält das Ergebnis 33,7° (hierbei aufpassen, dass der Taschenrechner auf den korrekten Modus “Grad” eingestellt ist).

  18. TheCube sagt:

    Hi Julian,
    ich wollte wissen wie man den Sinus durch den Cosinus ausdrückt, und dasselbe umgekehrt?
    Also: sinφ = cos…..

    Währe toll würdest du mir helfen!!!!!!

    Mfg.: TheCube

  19. Hi,

    das findest du gut erklärt bei Wikipedia: Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus.

    Gruß,
    Julian Schrader

  20. TheCube sagt:

    Danke das hat mir echt geholfen!!

    OK, Mathe fix ne 1!!! ;)

  21. Christion sagt:

    Hey Leutz hätte ne frage … etc vllt auch mehr x)
    Also fangen wir mal gleich an
    Sagen wir mal da steht

    A = 90 °
    B = 42°
    C= 6,5cm

    Was muss man da machen ??? kann mir jemand schritt für schritt alles erklären ? wäre super danke !

  22. alex sagt:

    also wenn du alpha 90°
    betha 42°
    und die seite c=6,5cm hast,dann fängst du erstma an den anderen winkel aus zu rechnen ,d.h.gamma=180-(90-42) amn kann das auch anders machen :90-42 dann haste den schon

    so dan geht es weiter du rechnest sin(betha)=6,5/die hypotynose dann setze ein und dann steht da sin(42)=6,5/a (a is die hypotynose) dann umstellen: sin(42)*6,5=a
    und schon haste seite a so dann nimmste den satz von dem herr pythagoras: b^2=a^2-c^2; dann alles in den rechner eingeben und dann hastes

  23. alex sagt:

    ich habe auch noch eine frage was sind die funktionen von kotangens,sekans und kosekans bzw. was man da mit ausrechen kann

  24. Christion sagt:

    ja schon nett … beschrieben !! aber ich versteh null :(( bin wohl zu dumm in diesem thema -_- dann kassier ich halt meine 6 was solls

  25. alex sagt:

    was verstehst dud enn nich daran das is doch einfach einfach die formel umstellen,z.B.: wenn de b haben willst:

    sin(alpha)=gegenkatethe/hypotynose
    sin(a) =b/c dann nimmst du mal c

    sin(a)mal c =b
    oda was verstehst du daran nich das is doch ganz simpel einfach nur die formel umstellen

  26. Christion sagt:

    a: 2,4
    b: ??
    c= 90°

    ich cheack dann nie was ic hhier machen muss :(

  27. Christion sagt:

    da habe ich jetzt 2.4 cm die seite a und 90° winkel und mir fehlt die B was muss ich da machen ???

    2,4 mal 90° ??? hm…….. Dumme frage -.- und is bestimmt falsch aber kannst mich ja vllt aufklären

  28. Christion sagt:

    Arbeit abgekacket und lehrer meinte bist dumm -.- …………………………………………..

  29. Manfred sagt:

    Hallo,

    ich hab vor Tagen gelesen, dass die Griechen vor ca. 3000 Jahren in der Lage waren die Entfernung Erde-Sonne zu berechnen.

    1. Wie haben sie das gemacht?
    2. Wie muss (wenn es moeglich ist) ich vorgehen um den praktischen Beweis nachzuvollziehen?

  30. Hi,

    vielleicht hilft dir das hier weiter:

    um 265 v. Chr.
    Aristarch von Samos: Versuch, die Entfernungen der Sonne und des Mondes von der Erde zu bestimmen, und zwar durch Berechnung der Maßverhältnisse des im ersten und letzten Viertel rechtwinkligen Dreiecks Erde – Mond – Sonne. Als Ergebnis fand er ein Verhältnis von 1 :19 zwischen Mond- und Sonnenentfernung, ferner den Halbmesser des Mondes zu 0,36 und den der Sonne zu 6 3/4, Erdradien.
    Aristarch erkennt ferner, daß es für die Hypothese von Heraklid gleichgültig ist, welchen Radius man für die Sonnenbahn um das Zentralfeuer wählt, er setzt ihn gleich Null. Das Zentralfeuer läßt er fallen; damit ist die Sonne Mittelpunkt der Welt.

    http://home.arcor.de/hpj/Geschichte/Chronik.html

  31. Manfred sagt:

    Hi Julian,

    vielen herzlichen Dank.
    Ich werd mir die angegebene www page durchlesen.

    Ciao

  32. Miss A. Nonym sagt:

    Kann mir irgend jemand zeigen, wie man Kosinus (cos) im Koordinatensytem zeichnet? —P.S. mit dem Kreis—
    :(

  33. Hi,

    wenn du die mit Hilfe des Einheitskreises den Cosinus eines Winkels konstruieren möchtest, dann schau dir mal die roten Stellen in diesem Bild an:

     

  34. Pingback: Johannes Schrader - Hefte » Blog Archive » Trigonometrie

  35. Anastasia sagt:

    Hallo,

    wenn ich beide Winkel für sin “alpha”= -0,4444 berechnen soll, dann liegt der eine Winkel im Einheitskreis im 3. (180°-270°) und der andere im 4. Quadranten (270°-360°), da sin-Werte immer auf der y-Achse angezeigt werden und unsere Zahl negativ ist.
    Aber wie gebe ich das in den Taschenrechner ein ? (-0,4444 sin*-1 = -26°…)
    Und wie bestimme ich den zweiten Winkel ? (360°-alpha geht nicht-> zB 360°-181° ist nicht zwischen 270 und 360, 180°-alpha geht dann sowieso nicht)

    Wäre nett, wenn ihr mir helfen könntet. Das Problem ist ja nicht so schwer.

    Liebe Grüße

  36. Pingback: Geometrie: Berechnungen im Dreieck » [exbook]

  37. marcel sagt:

    hallo zusammen,

    mir ist der zusammenhang zwischen den quardrantenbeziehungen und den winkelfunktionen, also sinus und kosinis am Einheitskreis nicht wirklich klar, schreib aber am mittwoche ne arbeit, hier z.b ne hausaufgabe die ich nicht kappier die nummer 13.

    http://www.bilder-space.de/show.php?file=V8ouJhDv876GInx.jpg

  38. Lohse sagt:

    mit dem Einheitskreis hat es folgendes auf sich: Wenn du deinen Winkel am Ursprung anträgst kannst du die zugehörigen Funktionswerte von Sinus, Kosinus und Tangens folgendermaßen ablesen:
    1. Der Sinus ist: Der y-Wert des Schnittpunktes mit dem Einheitskreis
    2. Der Cosinus ist: der x-Wert dieses Schnittpunktes
    3. Der Tangens ist: der y-Wert bei x=1 (Schnittpunkt mit der Senkrechten zur x-Achse am x-Wert 1)
    Bei allen 3 Funktionen können auch die negativen Werte abgelesen werden.
    Zu deiner Hausuafgabe: Wie du den Winkel zu gegebenem sin bzw. cos mit Taschenrechner berechnest steht oben rechts neben deiner Aufgabe: “shift” “sin” Zahlenwert “=”
    Den jeweils zweiten Wert erhälst du über die folgenden Beziehungen:
    sin x = sin 180°-x
    cos x = cos 360° – x
    tan x = tan 180° + x

  39. marcel sagt:

    @ Lohse vielen dank für die hilfe hab mir das grad nochma angekuckt nachdem ich deinen beitrag gelesen hab, jetzt ist mir das ganze klar geworden. :)

  40. sam sagt:

    Hallo. Habe hier mal drübergeflogen aber keine Antwort zu meinem Problem gefunden.

    Gibt es Definitionen wie Sinus/Cosinus = Tangens auch für Cosinus/Sinus etc.?

    Brüche mit Sinus, Cosinus, Tangens und Co. kommen in der Mechanik öfters im Zähler und Nenner vor. Ersatzdefinitionen würden das erhblich vereinfachen.

  41. Lohse sagt:

    @sam:
    es gibt für cos/sin noch eine Definition, nämlich den cotangens: cot=cos/sin.

  42. Jessi sagt:

    Hey!
    Ich hab mal ne frage. Woher weiß ich wann ich sinus consinus oder tangens anwende?? hoffe mir kann das wer erklären.
    vielen dank schon mal im vorraus..

  43. Lohse sagt:

    @Jessi:
    Ob du Sinus, Cosinus oder Tangens anwendest hängt davon ab, welche Größen (Seitenlängen) gegeben sind, und welche du berechnen willst. Du musst dann einfach die entsprechende Gleichung (z.B.: sin x=Gegenkathete/Hypothenuse) nach der gesuchten Größe auflösen.
    Wenn du einen Winkel ausrechnen willst, brauchst du dafür die jeweilige Umkehrfunktion.
    Das alles funktioniert natürlich nur in rechtwinkligen Dreiecken, für allgemeine Dreiecke benötigst du Sinussatz und Kosinussatz

  44. Miru sagt:

    Hallo!!
    Ich bin seit kurzen auf einem Gymnasium und ich komme schon nicht klar!
    Ich würde mal gern wissen was ich hier genau machen muss!

    Also: “Einheitskreis zeichnen.. Werte für 20°, 130°, 160°, 240°, 300°”

    Wäre sehr nett , wen ihr mir helfen würdet, ich brauchs bis morgen!

  45. Lohse sagt:

    @Miru:
    Der Einheitskreis bezeichnet in einem Koordinatensystem den Kreis um den Ursprung (Schnittpunkt von x- und y-Achse) mit dem Radius 1.
    Für deine Aufgabe musst du also zuerst diesen Einheitskreis in ein Koordinatensystem zeichnen.
    Anschließend trägst du die angegebenen Winkel ein; dabei wird der Winkel zwischen der x-Achse (positive Werte für x) und dem “Zeiger” gemessen. Der Schnittpunkt des Zeigers, den du so einzeichnest, hat dann als x-Koordinate den Kosinus-Wert des Winkels, als y-Koordinate den Sinus Wert.

  46. miA♥ sagt:

    hallo ihr mathekönner ich bin in der 10. klasse und bin am verzweifeln wir machen nähmlich in der schule grad Trigonometrie und ich hab des ja en bislle verstanden aber wenn ich jetzt wüsst was ich nähmen soll, also zb tan=gegenkatete/ankatete und jetzt die werte einsetzt wie rechne ich das dann aus ???? mit taschenrechner?

  47. Verena sagt:

    Hallo leute,
    Ich hab mir des grad fast alles durchgelesen und denk mir einfach nur hää
    Wir machen des grade in der Schule und ich blick da gar nix,
    was bringt einem denn des wenn ich des berechne?
    Ich hab auch schon bei wikipedia geguckt aber OMFG…des is so complicated.
    also wenn mir des irgendeiner wirklich mal von schritt zu schritt ausführlichst für OBEROBEROBERdeppen erklären könnte, wäre ich sehr sehr dankbar, aber bitte wirklich jeden einzelen schritt…auch wenn ihr euch denkt des is logisch des brauch ich nich schreiben, aber sonst wird das bei mir nie waas!
    Also ich wäe euch sehr verbunden
    greets
    veerena

  48. Lohse sagt:

    also:
    Sinus,Kosinus und Tangens sind Funktionen für rechtwinklige Dreiecke.
    Der Sinus ordnet dem Winkel das Verhältnis von Gegenkathete und Hypothenuse zu;
    der Kosinus ordnet dem Winkel das Verhältnis von Ankathete zu Hypotehnuse zu;
    der Tangens ordnet dem Winkel das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete zu; der Tangens ist also der Quotient aus Sinus und Kosinus.

    Mit diesen drei Funktionen kann man dann in einem rechtwinkligen Dreieck, in dem die Werte der spitzen Winkel und eine Streckenlänge oder zwei Streckenlängen gegeben sind, die übrigen Winkel und Streckenlängen berechnen.

    Dies funktioniert, indem man die zwei gegebenen werte in die im Artikel genannten Gleichungen einsetzt und anschließend nach der dritten Größe auflöst.

  49. Rabse sagt:

    also ich bin inzwischen in der 10 klasse (gymnasium g8)
    bei uns gehts grad um den einheitskreis was ich nicht verstehen kann.
    ich kapier nämlich ned was mit des bringen soll^^
    wär nett wenn mir jmd des ganze erklärn könnt oder zumindest was sowas mir bringen soll. =)

  50. Lohse sagt:

    @rabse:
    der einheitskreis ist im wesentlichen eine Darstellung der trigonometrischen funktionen sin, cos und tan.
    das ganze bringt dir eine möglichkeit, dir die zusammenhänge zwischen sin und cos leichter zu merken also z.b. cos (x) = sin (x-pi) oder sin (x)=sin(-x).
    außerdem kannst du diese funktionen damit auch für winkel definieren, die größer als 90° sind, was mit der Definition im rechtwinkligen dreieck nicht geht (es gibt nämlich keine rechtwinkligen dreiecke bei denen ein weiterer winkel größer als 90° ist..)
    hoffe das hilft dir weiter…

  51. Lisa sagt:

    Ich habe auch ein Problem mit dem Einheitskreis. Wir schreiben Montag eine Klassenarbeit. Ich weiß wozu er gut ist etc. nur wir müssen schnell eine Skizze hinmalen dann gibt sie uns an, was weiß ich..z.B. das wir sec/cos von (0,7) oder so auf dem Einheitskreis von der Zahl [-720;720] suchen müssen. Ich weiß, dass es da 8 Lösungen egebn würde. Wie man die erste Lösung rausbekommt, ist mir auch klar. Aber die anderen 7 Lösungen werden für mich zum problem.
    Wäre nett, wenn du mir erklären würdest, wie es geht ;)
    Liebe Grüße..!

  52. frank sagt:

    ich hab voll keine ahnung wie man die formeln umstellt
    kan mir jemand helfen

  53. Mariana sagt:

    Hey!

    Könnt ihr mir vielleicht ein paar Zusammenhänge zwischen den Cosinuswerten verschiedener Winkel sagen?

  54. Marzel sagt:

    Hallo!
    Hier mal eine etwas andere Frage:

    Ich saß letztens (malwieder) gelangweilt im Matheuntericht. Dann kam mir die Überlegung auf, dass es doch irgendwie möglich sein muss, dass man die Winkel eines Dreiecks berechnet, wenn man nur die Seitenlängenangabe hat.
    Also zum Beispiel: a=4 cm; b=5 cm; c=6 cm.

    Und nun die Fragen:
    1.) Funktioniert das überhaupt?
    Und 2.) Wenn “ja”: Mit welcher Formel???

    Ich hoffe man kann mir weiterhelfen, denn das beschäftig mich schon seit Tagen!
    Gruß
    Marzel

  55. Lohse sagt:

    @Marcel: das kann man, die zugehörige Formel heißt Cosinus-Satz.
    Für den zweiten Winkel kann dann der Sinus-Satz verwendet werden, für den dritten die Winkelsumme.

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